再生组合中的中等部分:正则变化情形

整数 $n$ 的再生随机组合是通过将 $n$ 个标准指数点分配到可数个区间上构成的,这些区间构成了次级子 $S$ 的闭值域的补集。假设 $S$ 的 L\'{e}vy 测度是无限的且在零点处正则变化,指数为 $-\alpha$,$\alpha\in(0,\,1)$,我们找到了一个显式阈值 $r=r(n)$,使得大小为 $r(n)$ 的块的数量 $K_{n,\,r(n)}$ 在没有任何归一化的情况下依分布收敛到一个混合 Poisson 分布。序列 $(r(n))$ 被证明是正则变化的,指数为 $\alpha/(\alpha+1)$,且混合分布是 $S$ 的指数泛函的分布。该结果是作为具有频率幂律衰减的无限占位方案的一个一般 Poisson 极限定理的推论导出的。我们还讨论了在 $w(n)$ 发散但增长慢于 $r(n)$ 的情况下 $K_{n,\,w(n)}$ 的渐近行为。我们的发现补充了先前在固定 $r\in\mathbb{N}$ 情况下关于 $K_{n,\,r}$ 的强大数定律。作为关键工具,我们采用了针对正则变化函数的 Laplace--Stieltjes 变换的新型 Abel 定理,其中正则变化指数发散到无穷大。