将高斯素数中的切比雪夫偏差建模为随机游走

切比雪夫偏差的一个方面是这种现象：实验表明，素数 $q$ 模另一个素数 $p$ 时，是非二次剩余的概率似乎略高于它是二次剩余的概率。我们认为，利用勒让德符号值作为步长，将这种剩余偏差建模为“随机”游走会很有趣。这样的模型将使我们能够直观地观察该偏差。此外，我们还能将模型扩展到其他数域。在本报告中，我们首先概述了基础理论和研究动机。在第二节中，我们展示了在有理素数方面的发现。我们发现证据表明，如果将切比雪夫偏差建模为勒让德符号 $\left(\frac{q}{p}\right)$ 游走，仅允许 $q$ 遍历模 $4$ 为非二次剩余的素数，可能会在一定程度上减弱该偏差。在最后一节中，我们将勒让德符号游走扩展到高斯素数并展示主要发现。设 $\pi_1 = \alpha+\beta i$ 和 $\pi_2 = \beta+\alpha i$。我们观察到，对于 $N(\pi_1) = N(\pi_2)$ 且 $a+bi$ 遍历第一象限内高斯素数的情况，关于 $\left[\frac{a+bi}{\pi_1}\right]$ 和 $\left[\frac{a+bi}{\pi_2}\right]$ 的高斯勒让德符号游走之间存在强烈的 ($\pm$) 相关性。我们尝试解释为何对于某些范数，$\pi_1$ 和 $\pi_2$ 的图表呈现强正相关，而对于其他范数则呈现强负相关。我们希望本文的撰写方式能使没有数论正式训练背景的读者也能理解我们的观察结果。