镜像对称、热心几何与表表示现论

理想填充是Judd提出的一种组合对象，通过以规范方式将SL_n的支配权$\lambda$表示为正根的有理和，使得系数满足max关系。他证明，只要理想填充的系数为整数，就对应于字符串多面体内部的格点，该多面体参数化了具有最高权$\lambda$的表示的规范基。Judd的工作利用几何晶体体系构建字符串多面体的方法，并通过某些“字符串”坐标对SL_n/B的超势能量进行热心化。他展示，每个理想填充通过精细分析临界点条件，与超势能量在Puiseux系列域上的正临界点相关联。本篇论文给出理想填充的一种新解释，同时也给出了抛物线一般化。对于每个GL_n的支配权$\lambda$，我们还定义了一族位于$\mathbb{R}^{R_+}$中的新型多面体，其中$R_+$表示GL_n的正根，每种最长Weyl群元素的简化表达式对应一个多面体。这些多面体之间存在分片线性变换，这些变换固定将$\lambda$的理想填充作为每个多面体内部点的方式。我们的主要技术工具是一种新的坐标系来表达超势能量，我们称为“理想坐标”。我们描述了这些坐标与GL_n/B情况下的字符串坐标之间的显式变换。最后，我们展示了我们对理想填充的新解释与Toeplitz矩阵分解为简单根子群的因子化之间存在密切关系。