沃罗诺伊平行多面体与线段的闵可夫斯基和

我们通过{\em 沃罗诺伊平行多面体} $P(a)$ 表示由非负二次型 $a$ 确定的平行多面体。沃罗诺伊在其著名回忆录中研究了它。对于向量集合 $\mathcal P$，我们称其{\em 对偶}为向量集合 ${\mathcal P}^*$，使得对所有 $p\in{\mathcal P}$ 和 $q\in{\mathcal P}^*$ 有 $\langle p,q\rangle\in\{0,\pm 1\}$。我们证明，沃罗诺伊平行多面体 $P(a)$ 与一条线段的闵可夫斯基和是沃罗诺伊平行多面体 $P(a+a_e)$，当且仅当该线段平行于 $P(a)$ 的所有面的法向量集合的对偶中的一个向量 $e$，其中 $a_e(p)=b\langle e,p\rangle^2$ 是与该线段相关的秩为 1 的二次型。