可定向曲面同胚的最小周期

动力系统理论的主要问题之一是确定自映射周期轨道的存在性，以及更一般地，确定周期集合的结构。将固定集合的某一类自映射的最小周期定义为这样一个最小正整数：该类中的每个映射都有一个周期不超过该数的周期点。从1910年到1996年，闭曲面同胚类的最小周期确定问题被逐步完全解决。我们工作的目标是，对于每个紧致连通可定向曲面，确定其同胚类的最小周期。如果所考虑曲面的亏格为零或一，则该问题可以用简单的技术解决。对于亏格至少为二的情况，我们找到了最小周期的两个上界，它们可以表示为亏格与曲面边界分量数的线性函数。我们给出了使这些上界可达的某些充分条件。特别地，我们证明了只要边界分量数足够大，每个亏格的最小周期都变为常数。我们还研究了有限阶映射类的最小周期。本论文包含三个相互关联的分支。其一涉及不动点理论的应用。最小周期的一个上界是该理论的推论。为了获得另一个上界，我们还应用了曲面同胚的 Thurston-Nielsen 分类及其某些推论。这是第二个分支。最后，第三个分支涉及平面不连续群理论，它为我们提供了必要的工具，以构造证明最小周期下界存在的例子。