二维和三维库仑-狄拉克算符的极小极大原理、Hardy-Dirac 不等式与算子核

对于 $n\in\{2,3\}$，我们证明了具有势的 $n$ 维 Dirac 算符间隙中特征值的极小极大刻画，该势可能具有耦合常数直至临界值 $1/(4-n)$ 的库仑奇点。这一结果蕴含所谓的 Hardy-Dirac 不等式，只要耦合常数不超过 $1/(4-n)$，便可利用该不等式定义定义在 $\mathsf{C}_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^n\setminus\{0\};\mathbb{C}^{2(n-1)})$ 上的 Coulomb-Dirac 算符的一个独特的自伴扩张。我们还给出了该算符的算子核的显式描述。