$\mathbb{R}^4$ 中类拉格朗日悬链面的极小曲面

本文讨论 $\mathbb{R}^N$（$N\geq4$）中具有有限总曲率与嵌入平面端点的完备极小浸入。首先，我们证明以下情形不存在：(1) 亏格 1 带 2 个嵌入平面端点，(2) 亏格 $\neq4$、超椭圆且带 2 个类拉格朗日悬链面的嵌入平面端点。随后我们证明 $\mathbb{R}^4$ 中存在带 3 个嵌入平面端点的嵌入极小球面。此外，我们构造 $\mathbb{R}^4$ 中亏格 $g$、具 $d$ 个嵌入平面端点的例子，满足 $g\geq 1$ 且 $g+2\leq d\leq 2g+1$。这些例子包含一族带 3 个嵌入平面端点的嵌入极小环面。