S^3中的极小曲面：近期结果综述

在这篇综述中，我们讨论了三维球面S^3中极小曲面方程的各种方面。在回顾基本定义之后，我们描述了一族具有旋转对称性的浸入极小环面。然后回顾了S^3中已知的嵌入极小曲面例子。除了赤道和Clifford环面，这些例子还包括Lawson和Kapouleas-Yang的例子，以及最近由Choe和Soret发现的一族新例子。接下来，我们讨论了S^3中极小曲面的唯一性定理，例如Almgren关于亏格0情形的成果，以及我们最近对亏格1嵌入极小曲面的Lawson猜想的解决。更一般地，我们证明了任何亏格1且为Alexandrov浸入的极小曲面必为旋转对称。我们还讨论了Urbano关于嵌入极小曲面Morse指数的估计，并概述了Marques和Neves最近对Willmore猜想的证明。最后，我们描述了极小曲面上Laplacian第一特征值的估计。