Euler 对齐系统的微观、中观和宏观描述：自适应通信强度

本文是我们前一项关于 $\st$-模型的继续工作之一[见《Euler 对齐系统的自适应通信强度下的良好可解性与长期行为》, 已接受 Abel 符号学院论文集, 亦见 arXiv:2310.00269, 2023]。该 $\st$-模型由第一作者在[《环境平均》. EMS 数学年刊, 11 (2024), 第 2 期, 277413]中提出，是一种对齐模型，其对齐力强度 $\st$ 随着平均速度场的传输而传输。该模型的传输设计使得其具有 $e$ 量，$e = \partial_x u + \st$，该量在一维中类似于经典 Cucker-Smale 情形下控制正则性。$\st$-模型的实用性在于其能够以类似 Motsch-Tadmor 模型的定性行为出现，而后者的全局正则性理论尚未知晓。本文旨在在物理层面上为该 $\st$-模型奠定更坚实的基础，通过形式化和论证从其微观和中观描述出发。微观系统的一个独特特征是其为离散-连续系统：粒子的位置和速度是离散对象，而强度是活跃的连续标量函数。我们通过均值场极限严格地从微观描述推导至中观描述，并从中观描述推导至宏观描述，分别采用单动力学和 Maxwellian 极限情形。我们也讨论了基于 Favre 滤波器进行速度平均的 1 维时，动力学 Fokker-Planck-Alignment 方程的长期行为问题，证明其在 1 维下会放松到 Maxwellian。作为对先前工作中已给出数值结果的补充，本文通过粒子仿真提供了额外的数值证据，表明 $\st$-模型在定性上类似于 Motsch-Tadmor 模型。