Mat\'ern场在有界域上的正交性：微等价性在$\mathbb{R}^4$中的推论

Mat\'ern随机场是空间统计中最广泛使用的模型类之一。对于平稳Mat\'ern高斯随机场的协方差参数固定域可辨识性 exhibits 一种随维度而变化的相位转变。对于已知光滑性$\nu$，Zhang \cite{Zhang2004}证明当$d\le3$时，两个具有相同微等价参数$m=\sigma^2\alpha^{2\nu}$的Mat\'ern模型在有界域上诱导出的高斯测度等价，而Anderes \cite{Anderes2010}证明当$d>4$时，若参数不同，则相应的测度相互独立。 stationary Mat\'ern模型的临界情形$d=4$一直是悬置之问。我们解决了此问题。设$d=4$，考虑两个平稳Mat\'ern模型，其参数分别为$(\sigma_1,\alpha_1)$和$(\sigma_2,\alpha_2)$，满足\n\n$$\sigma_1^2\alpha_1^{2\nu}=\sigma_2^2\alpha_2^{2\nu}, \qquad \alpha_1\neq \alpha_2.$$\n\n我们证明这些模型在任意有界观测域上的高斯测度在每个可数稠密观测集合以及连续函数路径空间上相互独立。我们的方法可视为Anderes \cite{Anderes2010}的高阶增量方法的谱类比。Anderes通过在物理空间中对renormalized二次变分来隔离第二 irregular 协方差系数，而我们通过局部傅里叶系数检测第一非零高频谱偏差，并使用归一化Whittle得分来识别参数。更广泛地说，这里用于检测高斯随机场中细微协方差差异的局部分谱探测框架，可能对研究其他空间模型的可辨识性和估计问题具有帮助。