度量测度空间与合成 Ricci 界限：基本概念与最新进展
度量几何
2024-04-25 v1
摘要
具有合成 Ricci 界限的度量测度空间近年来引起了广泛关注，伴随着惊人的突破和深刻的新见解。本综述将简要介绍由 Lott-Villani 和本人引入的下界 Ricci 边界概念，并说明其几何、分析和概率后果，其中包括 Li-Yau 估计、Brownian 运动的耦合性质、锐利的函数和等距不等式、刚性结果以及结构属性，如可分割性和边界的可分割性。特别是，我将解释其与热流的关键相互作用及其与 Bakry-\`Emery 形式化的功能分析术语中的曲率维度条件的联系。这种 Lagrangian 方法与 Eulerian 方法之间的等价性将在 various 最新的研究方向中进一步探讨：i) 提供与（超）Ricci 流关联的时间依赖 Ricci 边界，ii) 二阶微积分、上界 Ricci 边界以及变换公式，iii) 分布值 Ricci 边界，例如允许非凸边界的奇异效应。
引用
@article{arxiv.2404.15755,
title = {Metric Measure Spaces and Synthetic Ricci Bounds -- Fundamental Concepts and Recent Developments},
author = {Karl-Theodor Sturm},
journal= {arXiv preprint arXiv:2404.15755},
year = {2024}
}