Jaccard空间的度量维度与可分辨性

度量空间中的一个点子集被称为可分辨该空间，如果空间中的每个点由其到该子集中每个点的距离唯一刻画。特别地，可分辨集可用于将抽象度量空间中的点表示为欧几里得向量。重要的是，由于三角不等式，空间中接近的点被表示为具有相似坐标的向量，这可能在适当选择度量的符号对象分类问题中找到应用。在本手稿中，我们研究了Jaccard空间的可分辨性，即形如$(2^X,\text{Jac})$的度量空间，其中$2^X$是有限集$X$的幂集，$\text{Jac}$是$X$子集之间的Jaccard距离。具体地，对于不同的$a,b\in 2^X$，$\text{Jac}(a,b)=|a\Delta b|/|a\cup b|$，其中$|\cdot|$表示大小（即基数），$\Delta$表示集合的对称差。我们结合概率论和线性代数论证，构造了$(2^X,\text{Jac})$的高度可能但近乎最优（即最小尺寸）的可分辨集。特别地，我们证明了$(2^X,\text{Jac})$的度量维度，即该空间可分辨集的最小尺寸，为$\Theta(|X|/\ln|X|)$。此外，我们表明，$2^X$中一个更小的子集足以高概率地分辨$X$中所有基数至多为$\sqrt{|X|}/\ln|X|$的不同子集对（相差一个因子）。