引力相空间中的度量与曲率

在时空的固定点（设为 $x_0$）处，引力相空间由对称矩阵 $F^{ab}$ 的空间[对应于正则动量 $\pi^{ab}(x_0)$]和对称矩阵 $\{G_{ab}\}$[对应于正则度量 $g_{ab}(x_0)$]构成，其中 $1 \leq a,b \leq n$，且至关重要的是，矩阵 $\{G_{ab}\}$ 必须正定，即只要 $\sum (u^a)^2 > 0$ 就有 $\sum u^a G_{ab}u^b > 0$。在一种称为度量量子化的替代量子化程序中，第一个也是最重要的要素是在经典相空间上指定一个合适的度量。我们在仿射量子引力近期研究的引导下对相空间度量的选择，导出了具有常标量曲率的引力相空间几何，并可视为 $n=1$ 时 Poincaré 平面的高维类似物。这一结果很重要，因为被赋予此类对称性的相空间通过度量量子化程序自然导出高维的、可接受的 Hilbert 空间。