随机正则图上 Potts 铁磁体的亚稳性

我们研究 $q$ 态铁磁 Potts 模型在随机正则图上的马尔可夫链性能。据推测，其性能由亚稳现象主导，即样本空间中存在“相”（簇），使得具有局部更新规则（如 Glauber 动力学）的马尔可夫链需指数时间才能逃逸。据信在 Potts 模型中驱动这些亚稳现象的相作为所谓的 Bethe 泛函的局部而非全局极大值出现，而先前基于优化论证分析这些相的方法不足以完成任务。我们的首要贡献是详述 $q$ 态 Potts 模型在所有整数 $q,d\geq 3$ 的 $d$ 正则随机图上亚稳态相的出现，并确立在由 $d$ 正则树上的唯一性和广播阈值所界定的温度区间内，两相共存。证明基于空间性质与随机正则图上 Potts 分布结构之间的概念性联系，而非复杂的矩计算。基于对该模型这一新的结构性理解，我们获得了若干算法推论。我们首先补充了 Blanca 和 Gheissari 在唯一性阈值以下 Glauber 动力学的近期快速混合结果，展示了在唯一性阈值以上混合时间的指数下界。进而，我们即便对非局部 Swendsen-Wang 链也获得了紧结果，确立了在该链于随机正则图上被推测为缓慢混合的整个温度区间内均存在慢混合/亚稳性。关键之处在于利用随机图“植入”论证结合对随机图渗流的精细界来界定链的电导。