通过随机簇动力学在低温下从Potts模型采样的易处理性研究

从$q$态铁磁Potts模型采样是统计物理、概率论和理论计算机科学中的一个基本问题。在一般图上，该问题可能在计算上是困难的，并且这种困难在任意低温下都成立。与此同时，近年来在表明各种特定图族中存在低温采样算法方面取得了显著进展。本文旨在理解使一般图在低温下能够多项式时间采样$q$态铁磁Potts模型的最小结构性质。我们从随机簇动力学的视角研究该问题。这些是非局部马尔可夫链，长期以来被认为在许多图中低温下能快速收敛到平衡。然而，采样问题的困难性很可能表明，即便对所有有界度图而言也并非如此。我们的结果表明，这些动力学收敛快慢背后的关键图性质是图上的独立边渗流是否承认强超临界相。我们的意思是，在较大的$p<1$时，它有一个大的线性大小分支，且该分支的图补仅由小分支组成。具体而言，我们证明这样的条件意味着随机簇Glauber和Swendsen--Wang动力学在两类一般有界度图族上的快速混合：（a）体积增长至多拉伸指数级的图，以及（b）局部树状图。另一方面，我们表明，即便在这些图族中，若边渗流条件不成立，这些马尔可夫链在任意低温下也可能以指数级缓慢收敛。