Sobolev 空间中功能形状的形变

本文详细描述了 fshape 之间几何-功能变异的模型。这些对象由作者在 [Charlier et al. 2015] 中首次引入，基本上是经典可变形流形与附加标量信号映射的结合。基于前述工作，本文的贡献有多个方面。我们首先扩展了原始的 $L^2$ 模型，以便用更正则的 Hilbert 范数（通常是 Sobolev）在其几何支撑上表示更高正则性的信号。我们描述了此类 fshape 空间的丛结构及其适当的测地距离，将通常的形状比较和图像形变纳入一个共同的框架。然后，我们从最优控制的角度提出了任意两个 fshape 之间的匹配公式，研究了最优控制的存在性，并推导了描述测地线动力学的 Hamilton 方程和守恒定律。其次，我们通过三角形网格上适当的有限元插值方案来处理这些问题和方程的离散对应部分。最后，我们展示了一些合成数据和若干真实数据示例上的形变匹配结果，以突出该方法的关键特性。