Menger 曲线与闭双曲 3-轨道流形的球 CR 均匀化

令 $$G_{6,3}=\langle a_0, \cdots, a_5| a_{i}^{3}=id, a_{i} a_{i+1}= a_{i+1} a_{i}, i \in \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\rangle$$ 为边界是 Menger 曲线的双曲群。J. Granier \cite{Granier} 构造了 $G_{6,3}$ 到 $\mathbf{PU}(2,1)$ 的一个离散、凸余紧且忠实的表示 $\rho$。我们证明 $\rho(G_{6,3})$ 在无穷远处的 3-轨道流形是一个闭双曲 3-轨道流形，其底空间为 3-球面，奇异轨迹为 $\mathbb{Z}_3$-锥链环 $C(6,-2)$。这回答了 Misha Kapovich 猜想 10.6 \cite{Kapovich} 的第二部分。