Ricci 曲率下界的测度刚性

测度收缩性质（简称 $\mathsf{MCP}$）是度量测度空间的一种弱 Ricci 曲率下界条件。本文旨在理解此类假设（甚至更弱的修正）在测度、其支撑集以及空间测地线上所蕴含的结构性质。我们从欧氏情形开始研究，证明若 $\mathbb{R}^{d}$ 上的正 Radon 测度 $\mathsf{m}$ 使得 $(\mathbb{R}^{d},|\cdot |, \mathsf{m})$ 满足 $\mathsf{MCP}$ 的一个较弱变体，则其支撑集 $\text{spt}(\mathsf{m})$ 必为凸集，且 $\mathsf{m}$ 关于 $\text{spt}(\mathsf{m})$ 的相应 Hausdorff 测度绝对连续。该结果随后被用作度量框架下研究 $\mathsf{MCP}$ 刚性的起点。我们引入度量空间的 $reference \ measure$（参考测度）这一新概念，并证明若 $(X,\mathsf{d},\mathsf{m})$ 本质无分支且满足 $\mathsf{MCP}$，且 $\mu$ 是 $(\text{spt}(\mathsf{m}), \mathsf{d})$ 的一个本质无分支的 $\mathsf{MCP}$ 参考测度，则 $\mathsf{m}$ 在存在反演计划的点的集合上关于 $\mu$ 绝对连续。作为推论，本质无分支的 $\mathsf{MCP}$ 参考测度在密度意义下享有一种弱唯一性。我们还证明了在附加一致有界条件下，参考测度在测度 Gromov-Hausdorff 收敛下的稳定性。最后一部分给出了具有参考测度的度量空间的具体例子，包括光滑与非光滑情形。