受限布朗运动的均方位移与方差

对于尺寸为 $L$ 的受限系统中一维布朗运动，由 $\left \langle (x-x_0)^2 \right\rangle$ 定义的均方位移(MSD)应与 $t^{\alpha(t)}$ 成正比。幂指数 $\alpha(t)$ 应随时间从 $1$ 变到 $0$，且 MSD 由 $2Dt$ 转变为 $c L^2$，其中系数 $c$ 与 $t$ 无关，$D$ 为扩散系数。本文旨在定量求解中间受限区域的 MSD。该问题的关键是如何处理具有 Dirichlet 边界的 Fokker-Planck 方程(FPE)的传播子与归一化因子。对小 $t$ 应用 Euler-Maclaurin 近似(EMA)与分部积分，我们得到 MSD 为 $2Dt(1-\frac{2\sqrt{\xi} }{3\pi\sqrt{\pi}})$，其中 $t_{ch}=\frac{L^2}{4\pi^2D},\xi\equiv \frac{t}{t_{ch}}$，且幂指数 $\alpha(t)$ 为 $\frac{1-0.18\sqrt{\xi}}{1-0.12\sqrt{\xi}}$。进一步，我们分析了具有 $\gamma$ 维受限的 $d$ 维系统的 MSD 与幂指数。在 $\gamma< d$ 的情形下，中间时间存在次扩散行为。该普适描述与微纳系统中近期实验和模拟一致。最后，我们计算了位置方差(PV)，即 $\left\langle (x-\left\langle x \right\rangle)^2 \right\rangle$。在涉及不同概率密度函数(PDF) $p_{0}(x)$ 的初始条件下，MSD 与 PV 应展现不同的时间依赖关系，反映相应的扩散行为。作为例子，本文讨论了具有中点 $x_0=\frac{L}{2}$ 与端点 $x_0=\epsilon$(或 $0^+$)的代表性初始 PDF $p_{0}(x)=\delta(x-x_0)$。对小 $t$，MSD(等于 PV)分别为 $2Dt(1-\frac{5\pi^3 Dt}{L^2})$ 与 $\frac{4}{\pi}(2Dt)[1+\frac{2\sqrt{\pi Dt}}{L}]$。