分数布朗-朗之万运动的遍历性质

我们研究了分数布朗运动和朗之万运动的时间平均均方位移 $\overline{\delta^2}(x(t))=\int_0^{t-\Delta}[x(t^\prime+\Delta)-x(t^\prime)]^2 dt^\prime/(t-\Delta)$。与先前研究的连续时间随机游走模型不同，在长测量时间极限下，$\overline{\delta^2}$ 收敛于系综平均 $<x^2 > \sim t^{2 H}$。然而，收敛到遍历行为是缓慢的，并且令人惊讶的是，赫斯特指数 $H=3/4$ 标志着收敛速度的临界点。当 $H<3/4$ 时，遍历性破缺参数 ${EB} = {Var} (\overline{\delta^2}) / < \overline{\delta^2} >^2\sim k(H) \cdot\Delta\cdot t^{-1}$；当 $H=3/4$ 时，${EB} \sim (9/16)(\ln t) \cdot\Delta \cdot t^{-1}$；当 $3/4<H <1$ 时，${EB} \sim k(H)\Delta^{4-4H} t^{4H-4}$。在弹道极限 $H \to 1$ 下，遍历性被破坏且 ${EB} \sim 2$。临界点 $H=3/4$ 以系数 $k(H)$ 的发散为标志。简要讨论了分数布朗运动作为细胞中mRNA亚扩散近期实验的模型，并与连续时间随机游走模型进行了比较。