McShane-Rivin 范数球与简单长度重数

我们使用 McShane-Rivin 范数球的法转角估计证明，对于每个完备的有限面积双曲单穿孔环面 $X$，长度恰好为 $L\geq 2$ 的简单闭测地线的数量至多为 $C_X(\log L)^2$。对于模环，这给出了对于每个 Markoff 数 $m$，$$\#\lambda_M^{-1}(m)\leq C(\log\log(3m))^2$$，改进了先前的对数 Markoff 纤维界。这些估计还给出了关于 McShane-Rivin 范数球局部几何的新定量信息，包括在某些无理方向上对无穷阶平坦性的阻碍。