即使在欧氏平面中，最大 Solow--Polasky 多样性子集选择亦是 NP-hard

我们证明，对于任意固定的 $\theta_0>0$，在具有欧氏度量的 $\mathbb{R}^2$ 有限点集中，选取规定基数且最大化 Solow--Polasky 多样性指标的子集是 NP-hard 的，因此对于任意固定维度 $d \ge 2$ 的 $\mathbb{R}^d$ 有限点集亦是如此。这严格强化了我们早前关于一般度量空间的 NP-hardness 结果，表明即使在欧氏平面这一严格的几何限制下，该困难性依然存在。同时，欧氏证明技术与早前针对任意度量空间的概念上更简单的论证不同，且一般度量空间的构造无法直接转化为欧氏设定。在早前的证明中，可以使用针对任意度量量身定制的精确构造，本质上利用了两距离结构。相比之下，在固定维度的欧氏空间中无法实现这种精确构造，因此本约简需要真正的几何论证。我们的欧氏证明基于两个距离阈值，使我们能够通过稳健的不等式而非一般度量设定中使用的精确构造来区分 yes-instance 与 no-instance。主要技术要素是关于非线性目标 $\mathbf{1}^{\top}Z^{-1}\mathbf{1}$ 的有界框比较引理，其中 $Z_{ij}=e^{-\theta_0 d(x_i,x_j)}$。该引理很好地控制了成对距离中扰动的影响，足以传递由约简产生的间隙。该约简源自 \emph{Geometric Unit-Disk Independent Set}。我们以 $\mathbb{R}^2$ 有限子集的几何形式给出主要论证，并在附录中补充了多项式时间可归约性所需的位复杂度细节。