某些 C*-代数的最大 UHF 子代数

动力学系统中的一个著名结果断言，任何 Cantor 最小系统 $(X,T)$ 都有一个最大的有理等距因子 $(Y,S)$，实际上是一个 odometer，并实现其 $K_0$ 群的有理子群，即 $\mathbb{Q}(K_0(X,T), 1) \cong K^0(Y,S)$。我们引入最大 UHF 子代数的概念，并用于获得该结果的 C*-代数化论证。我们说，若一个 UHF 子代数 $B$ 是一个单位 C*-代数 $A$ 的子代数，且包含 $A$ 的单位，则若存在另一个此类 C*-子代数单射嵌入到 $B$ 中，则 $B$ 为最大 UHF 子代数。我们证明，如果 $K_0(A)$ 是未压裂的，并且具有某种 $K_0$ 提升属性，则 $B$ 存在且在同构意义下唯一。特别是，所有简单可分离单位 C*-代数，其 tracical rank 为零，以及所有单位 Kirchberg 代数且其 $K_0$ 群为未压裂的，都拥有最大 UHF 子代数。并非所有单位 C*-代数都有最大 UHF 子代数，例如单位全自由积 $\mathrm{M}_2 \ast_{r} \mathrm{M}_3$。作为一个应用，我们给出一个 C*-代数化的实现，说明任何维数群 $G$ 带有序单位 $u$ 的有理子群 $\mathbb{Q}(G,u)$，即存在一个简单单位 AF 代数（以及一个单位 Kirchberg 代数）$A$，其最大 UHF 子代数 $B$ 使得 $(G,u)\cong (K_0(A), [1]_0)$ 且 $\mathbb{Q}(G,u)\cong K_0(B)$。