链对称系统发育替换模型中的矩阵群结构与 Markov 不变量

我们考虑了链对称系统发育替换模型（其中速率参数在由 Watson-Crick 碱基共轭给出的核苷酸置换下保持不变）的连续时间表述。对该模型作为矩阵群的底层结构进行代数分析，导出了基变换，使得速率生成矩阵由两部分块分解给出。我们应用表示论技术，针对任意（固定）数量的系统发育分类单元 $L$ 和感兴趣的多项式次数 $D$，提供了分类和枚举相关 Markov 不变量的方法。特别地，在二次和三次情形下，我们证明分别恰好存在 $1/3(3^L+(-1)^L)$ 和 $6^{L-1}$ 个线性无关的 Markov 不变量。此外，我们给出了 Markov 不变量的显式多项式形式：(i) 适用于任意数量分类单元 $L$ 的二次情形，以及 (ii) 三分类单元系统发育树这一特殊情形下的三次情形。最后，我们展示了我们的结果具有实际意义，因为二次 Markov 不变量提供了基于 (i) Watson-Crick 共轭对内的替换速率和 (ii) 共轭碱基对间的替换速率的系统发育距离的独立估计。