矩阵范围、扩张与单位约束映射

设 $J_n$ 为特征值为全零的大小为 $n$ 的 Jordan 块。Arveson 在其杰作《Subalgebras of $C^*$-algebras II》（Acta Math, 128, 1972）中引入算子的矩阵范围概念，并证明生成由 $J_2$ 所产生的算子系统上每个单位正映射都是完全正的。这将 $J_2$ 的矩阵范围描述为所有数值半径不超过 $\frac{1}{2}$ 的矩阵集合。随后，Choi 与 Li 推广了 Arveson 的结果，证明生成任意 $2\times2$ 矩阵或具有约化子空间的 $3\times3$ 矩阵所产生的算子系统上每个单位正映射都是完全正的。五十年后，$J_n$（$n\geq3$）的矩阵范围仍未被表征。本文旨在针对 $n=3$ 探讨这一长期开放问题。我们首先建立满足 $BB^*+B^*B=I$ 的算子 $B$ 的扩张结构定理，然后考察是否存在扩张 $\widetilde{B}$ 使得 $\widetilde{B}\widetilde{B}^*+\widetilde{B}^*\widetilde{B}=I$。本研究是本文核心工作。我们利用此结果证明生成由 $J_3$ 所产生的算子系统上每个单位约束映射都是 $2$-正的，并取得部分表征 $J_3$ 矩阵范围的成果。接下来我们研究 $4\times4$ 正规矩阵所产生的算子系统上的单位约束映射，证明等价于研究生成 $T=\text{diag}(\lambda,-1,i,-i)$（其中 $\Re{(\lambda)}\geq0$）的单位约束映射。我们证明生成 $T=\text{diag}(1,-1,i,-i)$ 的单位约束映射完全为正的。