交换驱动增长的数学理论

交换驱动增长是一个过程，其中成对的团簇相互作用并交换一个单位的质量。交换速率由依赖于两个相互作用团簇质量的相互作用核 $K(j,k)$ 给出。本文首次建立了该过程平均场动力学方程的基本数学性质。我们发现，根据 $K(j,k)$ 是否对称，存在两类不同的行为。对于非对称情况，我们证明了满足 $K(j,k)\leq Cjk$ 的核的全局解的存在性和唯一性。该结果是最优的，因为我们证明对于一大类初始条件，若核满足 $K(j,k)\geq Cj^{\beta}$ ($\beta>1)$，解不可能存在。另一方面，对于对称核，我们证明了当 $K(j,k)\leq C(j^{\mu}k^{\nu}+j^{\nu}k^{\mu})$ ($\mu,\nu\leq2,$ $\mu+\nu\leq3)$ 时解的全局存在性，而当 $K(j,k)\geq Cj^{\beta}$ ($\beta>2)$ 时存在性丧失。在中间区域 $3<\mu+\nu\leq4$，我们只能证明局部存在性。我们推测，根据对特定核得到的启发式结果，中间区域会表现出有限时间凝胶化现象。