映射环面中的梅西积

设 $\phi: M\to M$ 为 $C^\infty$ 紧致连通流形的微分同胚，$X$ 为其映射环面。存在自然纤维化 $p:X\to S^1$，记 $\xi\in H^1(X, \mathbb{Z})$ 为相应的上同调类。令 $\lambda\in \mathbb{Z}^*$。考虑 $\phi$ 在 $M$ 的 $k$ 阶上同调中诱导的自同态 $\phi_k^*$，并记 $J_k(\lambda)$ 为其特征值 $\lambda$ 的若尔当块的最大尺寸。通过 $\rho_\lambda (g) = \lambda^{p_*(g)}$ 定义表示 $\rho_\lambda : \pi_1(X)\to\mathbb{C}^*$。令 $H^*(X,\rho_\lambda)$ 为 $X$ 相应的扭上同调。我们证明 $J_k(\lambda)$ 等于形式为 $\langle \xi, \ldots , \xi, a\rangle$ 的非零梅西积的最大长度，其中 $a\in H^k(X,\rho_\lambda)$（此处长度指 $\xi$ 的条目数）。特别地，若 $X$ 是强形式空间（例如凯勒流形），则 $\phi_k^*$ 的所有若尔当块尺寸均为 1。若 $X$ 是形式空间，则特征值 1 的所有若尔当块尺寸均为 1。这引出了形式但非强形式映射环面的简单构造。主定理的证明基于如下事实：上述形式的梅西积可与梅西谱序列中的微分等同，而后者又可通过 $\phi^*$ 的若尔当标准型显式计算。