基于鞅的 Markov 过程时间可加可观测量首次穿越问题方法

我们发展了一种基于鞅的方法，用于研究 Markov 过程中时间可加可观测量穿越有限宽度区间的首次穿越问题。在区间宽度为大值的极限下，我们推导了分割概率和首次穿越时间的累计矩的通用表达式。这些表达式将首次穿越量与时间可加可观测量的大偏差性质联系起来。我们发现，根据时间可加可观测量的大偏差率函数的性质，存在三种不同质量的 regime，分别对应于区间不太可能处于的边界上事件的指数、超指数或亚指数抑制。此外，我们表明，无论是对称阈值还是在区间宽度很大的极限下，区间两个边界上的首次穿越时间的统计性质通常都是不同的。虽然到达可能边界的时间统计性质由时间可加可观测量在原始过程中的累计矩决定，但到达不太可能边界的时间统计性质则由一个对偶过程决定。我们从一族具有一参数的正鞅中获得这些结果，我们将其称为 Perron 鞅，因为它们与定义 Markov 过程的迁移率矩阵的倾斜版本的 Perron 根相关。此外，我们表明，倾斜矩阵的每个特征对都有一个一参数的鞅族。要在有限阈值处求解首次穿越问题，我们通常需要所有一参数的鞅族，包括非正的鞅。我们通过求解跌踏粒子穿越有限宽度区间的首次穿越问题来说明这一点。