单项式曲线的 Markov 复杂度

设 $\mathcal{A}=\{{\bf a}_1,\ldots,{\bf a}_n\}\subset\Bbb{N}^m$。我们给出了环面理想 $I_{\mathcal{A}}$ 的通用 Markov 基的代数刻画。我们证明了若 $I_{\mathcal{A}}$ 是完全交，则 $\mathcal{A}=\{n_1,n_2,n_3\}$ 的 Markov 复杂度等于二，否则等于三，从而回答了 Santos 和 Sturmfels 提出的问题。我们证明了对于任意 $r\geq 2$，$\mathcal{A}^{(r)}$ 存在唯一的极小 Markov 基。此外，我们证明了对于任意整数 $l$，存在整数 $n_1,n_2,n_3$ 使得 $\mathcal{A}$ 的 Graver 复杂度大于 $l$。