论矩阵的 Gröbner 复杂度

本文证明，如果对于整数矩阵 A，其关联环面理想 $\Ideal_A$ 的通用 Gröbner 基与 A 的 Graver 基重合，那么其高阶 Lawrence 提升的 Gröbner 复杂度 $u(A)$ 和 Graver 复杂度 $g(A)$ 也相等。我们得出结论，对于定义 $3\times 3$ 和 $3\times 4$ 运输问题的矩阵 $A_{3\times 3}$ 和 $A_{3\times 4}$，有 $u(A_{3\times 3})=g(A_{3\times 3})=9$ 且 $u(A_{3\times 4})=g(A_{3\times 4})\geq 27$。此外，我们证明了对于正整数 $a,b$ 和 $A_{a,b}=(\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ 0 & a & b & a+b \end{smallmatrix})$，有 $u(A_{a,b})=g(A_{a,b})=2(a+b)/\gcd(a,b)$。