由有偏随机错排产生的马尔可夫链

我们探讨一类有偏随机错排的循环类型，其可描述为由标号为 $1,\cdots,n$ 的一些儿童所玩的随机游戏。儿童以随机顺序逐一加入游戏，并随机形成若干个大小至少为 $2$ 的圈，使得没有儿童被落下。该游戏给出了随机错排的循环分解，并诱导出一个可交换随机划分。圈被闭合的速率随时间变化，且在每一时刻 $t$，依赖于直到 t 尚未参与游戏的人数。一个取值于 $\{0,1\}$ 的马尔可夫链 $X^n$ 记录了相应随机错排的循环类型，其中任意 $1$ 表示一个闭合圈的握手事件。利用此，我们研究了随机错排的循环个数与大小及其渐近行为。我们近似了 $X^n$ 的逆链与其弱极限 $X^\infty$ 之间的总变差距离，当 $n\to\infty$。在后者不出现任何 $11$-模式（$1$-循环）的条件下，我们建立了 $X^n$ 与 Feller 耦合的一种推广之间的条件（及推前）关系。我们将这些关系推广至 $X^\infty$，并应用它们来研究 $X^n$ 的一些渐近行为。