统计预弗罗贝尼乌斯流形的马宁猜想、超立方关系与编码中的动机伽罗瓦群

本文通过（算术）代数几何和范畴论的视角，发展了信息几何的不同方面。首先，我们用 Giry 单子上的 Eilenberg-Moore 代数描述了可测空间 $(\Omega_n, \mathcal{A})$（其中 $\Omega$ 是离散的，有 $n$ 个结果）上所有概率分布的集合 $Cap_n$，结果表明在 $Cap_n$ 的乘积之间存在 Segre 型嵌入关系。我们揭示了这类嵌入的隐藏对称性，并证明存在一个超立方关系。其次，我们证明最初关于 Fano 簇的丢番图几何定义的马宁猜想，在定义于离散样本空间上的指数统计流形情形下是成立的。第三，我们引入了带括号辫子 ($\mathbf{mPaB}$) 的修正版本，它是纠错码中的一个关键工具。这个修正版本 $\mathbf{mPaB}$ 呈现了传输过程中可能发生的所有错误类型。我们证明标准的带括号辫子 $\mathbf{PaB}$ 构成了 $\mathbf{mPaB}$ 的一个全子范畴。我们讨论了 Grothendieck-Teichmüller 群与修正的带括号辫子之间的关系。最后，我们证明了马伽罗瓦群包含在自同构 $Aut(\widehat{\mathbf{mPaB}})$ 中。我们以一个关于有理点、交换 Moufang 圈和信息几何的开放问题作为结尾。