探索信息几何：最新进展及其与拓扑场论的联系
微分几何
2025-02-18 v1 信息论
代数几何
math.IT
摘要
本文源于第一作者在瑞典哥德堡所做的一次讲座，面向本科生以及任何希望探索几何与统计学交叉思想的数学爱好者。其核心在于阐明微分几何、概率论以及（前-）Frobenius 流形所编码的丰富代数结构之间深刻而自然的相互作用。论述分为三个主要部分。第一部分简要介绍了微分拓扑与几何，强调光滑流形、联络和曲率在几何结构表述中的作用。第二部分致力于概率、测度与统计学，其中概率空间的概念被精炼为一个几何对象，从而为更深入地理解统计模型铺平了数学道路。最后，在第三部分中，我们引入了（前-）Frobenius 流形，揭示了它们与概率分布指数族的惊人联系，并更广泛地讨论了它们在信息几何中的作用。在这三个部分的末尾，读者将找到富有启发性的练习题。通过将这些看似遥远的学科汇聚在一起，我们旨在突出几何结构在统计理论中的自然涌现。本文并不追求面面俱到，而是为读者提供一条通往一个仍在形成中的数学领域的路径，其中许多基本问题仍然开放。该文本无需高级先修知识即可理解，应能作为进一步探索的邀请。
引用
@article{arxiv.2502.11188,
title = {Exploring information geometry: Recent Advances and Connections to Topological Field Theory},
author = {Noémie C. Combe and Philippe G. Combe and Hanna K. Nencka},
journal= {arXiv preprint arXiv:2502.11188},
year = {2025}
}