无限维经典概率分布流形与量子密度算符流形

在 $C^{*}$-代数与 Banach-Lie 群作用的背景下，研究了无限维中经典概率分布子集与量子密度算符子集的流形结构。具体而言，经典概率分布与量子密度算符均可描述为给定 $C^{*}$-代数 $\mathscr{A}$ 上的态（泛函分析意义下），其中经典态对应 Abel 情形，量子态对应非 Abel 情形。本文中，将可能无限维的含单位元 $C^{*}$-代数 $\mathscr{A}$ 的态空间 $\mathscr{S}$ 划分为 $\mathscr{A}$ 的可逆元素群 $\mathscr{G}$ 作用的轨道的不交并。接着，我们证明在无限维可分 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上经过密度算符的轨道是 $\mathscr{G}=\mathcal{GL}(\mathcal{H})$ 的光滑齐性 Banach 流形；并且当 $\mathscr{A}$ 容许忠实迹态 $\tau$ 时（如经典情形中考虑具有满支撑的概率分布时所发生），我们证明经过 $\tau$ 的轨道是 $\mathscr{G}$ 的光滑齐性 Banach 流形。