量子力学的巴拿赫空间形式体系

本文提出将量子力学从传统的希尔伯特空间形式体系推广至巴拿赫空间形式体系。我们以任意复巴拿赫空间（而非复希尔伯特空间）为起点构造量子理论，利用一个基本事实：复巴拿赫空间总容许一个半内积。确切地说，在给定半内积的复巴拿赫空间 $\mathbb{X}$ 中，Lumer \cite{Lumer1961} 将纯态定义为由 $\mathbb{X}$ 中在半内积下的归一化元素所确定的有界算子空间上的有界线性泛函，而后系统的态空间 $\mathcal{S} (\mathbb{X})$ 为所有纯态张成的弱闭凸集。基于Lumer的态概念，我们将量子系统关联于配备固定半内积的复巴拿赫空间 $\mathbb{X}$，进而在量子态 $\omega \in \mathcal{S}(\mathbb{X})$ 处定义物理事件为 $\mathbb{X}$ 中满足正性条件 $0 \le \omega (P) \le 1$ 的投影 $P$（满足 $P^2 =P$ 的有界算子），在量子态 $\omega$ 处的物理量定义为具有实谱的标量型谱算子，使其关联谱投影均为 $\omega$ 处的物理事件。物理量测量的Born公式即为算子与满足概率守恒律的线性泛函的自然配对。系统的时间演化由具有实谱的标量型算子所确定的可逆谱算子单参数群支配，满足薛定谔方程。我们的表述恰为量子力学Dirac–von Neumann形式体系在巴拿赫空间框架下的推广。我们给出若干示例以作说明。