磁台球：强磁场下的不可积性；Gutkin 型示例

我们考虑强常磁场下的磁台球。本文的目的有两方面。我们考察台球磁流是否存在多项式积分的问题。我们成功将该问题归约为关于多项式积分存在的代数几何检验，这表明除有限多个磁场强度值外均呈多项式不可积性。在论文第二部分，我们构造了具有所谓 $\delta$-Gutkin 性质的磁台球示例，即任何以角度 $\delta$ 进入区域的拉莫尔圆都以相同角度 $\delta$ 离开区域。对于平面上的普通 Birkhoff 台球，此类示例由 E. Gutkin 引入且非常显式。我们对 Gutkin 磁台球的构造依赖于 F. Wegner 关于所谓 Zindler 曲线的优美示例，这些曲线与可追溯到 S. Ulam 的平衡浮体问题相关。我们证明 Gutkin 磁台球可作为 Wegner 曲线的平行曲线获得。Wegner 曲线在极坐标下可用椭圆函数表示，因此磁 Gutkin 台球的构造虽相当复杂但颇为显式。