Smale 第七问题中的“魔数”

Smale 第七问题关注的是二维球面上使对数对势能 $V_0(r) = -\ln r$（在构型的所有点对上取平均）最小化的 $N$ 点构型；此处 $r$ 是构成点对的两点之间的弦长距离。更一般地，$V_0(r)$ 可被标准化的 Riesz 对势能 $V_s(r)= (r^{-s} -1)/s$ 取代，后者在 $s \to 0$ 的极限下变为 $-\ln r$，而球面也可被其他紧流形取代。本文研究了从整数 $N>1$ 映射到二维球面上 $N$ 点构型的最小平均标准化 Riesz 对势能 $v_s(N)$ 的函数的凹性，其中 $s$ 为不同的实数。已知对于每个实数 $s$，$v_s(N)$ 严格递增，且对于 $s<2$ 也有上界，因此是“整体凹”的。易证 $v_{-2}(N)$ 甚至是局部严格凹的，且对于 $s<-2$，$v_s(2n)$ 也是如此。通过分析 $s \in \{-1,0,1,2,3\}$ 且 $N \in \{2,...,200\}$ 时假定最小平均 Riesz 对势能 $v_s^x(N)$ 的计算机实验数据，发现 $v_{-1}^x(N)$ 是局部严格凹的，而对于 $s \in \{0,1,2,3\}$，$v_s^x(N)$ 并不总是局部严格凹的：每当 $N \in C^{x}_+(s)$（一个特定于 $s$ 的经验整数集）时，就会出现凹性缺陷。研究发现，经验映射 $C^{x}_+(s)$（其中 $s \in \{-2,-1,0,1,2,3\}$）在集合论意义上是递增的；此外，发现 $C^{x}_+(s)$ 中奇数的百分比（对于 $s \in \{0,1,2,3\}$）随 $s$ 的增加而增加。$C^{x}_+(0)$ 中的整数稀少且分散，形成一个奇特的数列，令人想起核物理中的“魔数”。我们猜想 Smale 第七问题中的“魔数”与具有最优对称性的最优能量构型相关联。