n 球面的着色与反演几何

本文表明，在维度 $n \geq 2$ 时，对于标准 n 球面 $\sum_{i=0}^n x_i^2 =1$（位于 $R^{n+1}$ 中）的点集划分为 $(n+3)$ 个或更多非空集合的任何情况，在 $R^{n+1}$ 中总存在一个超平面，它至少与这些集合中的 $(n+2)$ 个相交。该结果被用于证明反演几何中的一个结论。映射 $T: S^2 \to S^n$（其中 $n\geq 2$，不假设连续甚至可测）若满足任何圆的像都包含于值域空间 $S^n$ 中的某个圆内，则称为弱保圆映射。如果此类映射 $T$ 的值域 $T(S^2)$ 处于圆的一般位置，即 $S^n$ 中的任何圆都至少遗漏 $T(S^2)$ 中的两个点，那么 $T$ 必然是 $S^2$ 的 Möbius 变换。