波映射的整体正则性 I. 高维情形下的小临界 Sobolev 范数

我们证明了从 Minkowski 空间 $R^{1+n}$ 到球面的波映射在初始数据光滑且在临界 Sobolev 空间 $\dot H^{n/2}$ 中具有小范数时（高维情形 $n \geq 5$）是整体光滑的。早期结果中不存在的一个主要困难是 $\dot H^{n/2}$ 范数刚好无法控制 $L^\infty$，可能在非线性项中引起对数发散；然而，这可以通过使用由近似平行传输适应于波映射的坐标标架来克服。在本文的续篇中，我们处理更有趣的二维情形，它是能量临界的。