四元数设定下的 M\"obius 变换与 Poincar\'e 距离

在四元数空间 $\mathbb{H}$ 中，我们研究了开单位圆盘 $\Delta_{\mathbb{H}}$ 和开半空间 $\mathbb{H}^{+}$ 的自然不变几何。这两个域通过 Cayley 型变换是微分同胚的。我们首先研究 $\Delta_{\mathbb{H}}$ 和 $\mathbb{H}^{+}$ 的 M\"obius 变换群的几何结构，并确定了用两个（同构的）四元数项矩阵群来表示它们的原创方法。随后，我们定义了四个四元数的交比，证明了当其为实数时，在 M\"obius 变换作用下是不变的，并利用它定义了 $\Delta_{\mathbb{H}}$ 和 $\mathbb{H}^{+}$ 上类比于 Poincar\'e 距离的距离。我们很容易推导出，$\Delta_{\mathbb{H}}$ 的四元数 Poincar\'e 距离与 $\Delta_{\mathbb{H}}$ 作为 $\mathbb{C}^{2}$ 域所继承的 Kobayashi 距离之间不存在等距映射，这与非紧秩 1 对称空间分类的直接推论一致。