Lyndon-Shirshov 基与反交换代数

Chen, Fox, Lyndon 1958 \cite{CFL58} 与 Shirshov 1958 \cite{Sh58} 分别独立引入了非结合 Lyndon-Shirshov 字，并证明了它们构成自由 Lie 代数的一组线性基。本文给出定义 Lyndon-Shirshov 基的另一种途径，即找到自由 Lie 代数的一个反交换 Gröbner-Shirshov 基 $S$，使得 $Irr(S)$ 恰为所有非结合 Lyndon-Shirshov 字的集合，其中 $Irr(S)$ 是 $N(X)$（$X$ 上自由反交换代数的一组基）中不含 $S$ 中多项式的极大单项式的所有单项式之集。由 Shirshov 的反交换 Gröbner-Shirshov 基理论 \cite{S62a2} 可知，集合 $Irr(S)$ 是自由 Lie 代数的一组线性基。