Schrödinger-Lohe 量子振荡器的 Lyapunov 稳定性与指数相锁定

我们研究了具有非相同固有频率的著名 Schrödinger-Lohe 量子同步模型。本文的主要结果涉及该量子系统的固定点特征化与相位锁定收敛。本文的研究结果可概括为四方面：通过对系统相关性固定点的特征化，我们发现其与经典 Kuramoto 模型的固定点之间存在直接对应关系。根据耦合强度 $\kappa$ 相对于固有频率 $\Omega_j$ 的关系，揭示了一个驱动系统快速指数收敛到相位锁定状态的 Lyapunov 函数。通过参数分析，赋予了渐近配置的显式界限。最后，通过特征值扰动论证明了固定点的线性稳定性（不稳定性）。尽管 Lyapunov 稳定性和线性稳定性相关，但其论证方法和结果性质不同。Lyapunov 稳定性提供了一个特定值 $\kappa(\Omega_j)$，当 $\kappa>\kappa(\Omega_j)$ 时，存在一组初始数据，如此定义的，这使得系统以如此定义的指数速率收敛到固定点。而线性稳定性通过分析固定点的雅可比矩阵来给出稳定性，对较大的 $\kappa$ 值进行分析，考虑 $\varepsilon=\frac{1}{\kappa}$ 作为扰动参数。在某些假设下，这为更广泛的 $\kappa$ 范围提供稳定性，优于 Lyapunov 论证中给出的范围。