Kuramoto 模型中部分锁定态的 Landau 阻尼

在全局耦合振荡子的 Kuramoto 模型中，部分锁定态（PLS）是包含了相互作用强度增加时部分同步涌现的稳态解。尽管 PLS 早已被考虑，但关于其稳定性的现有结果仅限于强拓扑下线性化动力学的中性稳定性，或特定不变子空间（通过所谓的 Ott-Antonsen (OA) 假设获得）及振荡子特定频率分布的情形。在平均场极限下，Kuramoto 模型表现出 Vlasov 方程中 Landau 阻尼机制的诸多要素。这种类比一直是正则 Kuramoto 平衡稳定性证明的灵感来源。此外，PLS 渐近稳定性的主要数学问题在于这些状态由异构且奇异的测度组成。在此，我们为它们的谱稳定性建立了一个显式判据，并证明了对于一大类解析频率边缘分布，它们在弱拓扑下的局部渐近稳定性。证明强烈依赖于一个合适的函数空间，该空间包含奇异测度的（Fourier 变换），且其上的线性化动力学得到了很好的控制。作为说明，在一些标准示例中评估了该稳定性判据。我们特别指出，假设 OA 假设不会导致一般性损失。据我们所知，我们的结果提供了在无耗散情况下异构与非正则平衡 Landau 阻尼的首个证明。