Lusztig 量子根向量与 A 系列全量子旗流形的 Dolbeault 复形

对于 Drinfeld-Jimbo 量子包络代数 $U_q(\frak{sl}_{n+1})$，我们证明了 Lusztig 正根向量的张成（相对于 Weyl 群最长元素的 Littelmann 漂亮约化分解）构成了全量子旗流形 $\mathcal{O}_q(\mathrm{F}_{n+1})$ 的量子切空间。相关的微分微积分是经典全旗流形 $\mathrm{F}_{n+1}$ 反全纯 Dolbeault 复形的直接 $q$ 形变。作为应用，我们为 $A_n$ 系列全量子旗流形建立了量子 Borel-Weil 定理，给出了 $U_q(\frak{sl}_{n+1})$ 所有有限维 1 型不可约表示的非交换微分几何实现。证明了将该微分微积分限制到量子 Grassmann 流形可重现著名的 Heckenberger-Kolb 反全纯 Dolbeault 复形。对 Weyl 群最长元素的非漂亮分解的 Lusztig 正根向量在低阶情况下进行了检验，并展示出要么不给出切空间，要么产生非经典维度的微分微积分。