量子群在单位根处的局部化

在文献 \cite{BK} 中我们定义了 G 的量子旗簇上的等变量子 $\mathcal{O}_q$-模与 $\mathcal{D}_q$-模范畴。我们证明了 Beilinson-Bernstein 局部化定理在 generic $q$ 处成立。此处我们证明该定理的导出版本在单位根情形成立。即，整体截面函子给出了 $U_q$-模范畴与量子旗簇上的 $\mathcal{D}_q$-模范畴之间的导等价。为此我们首先证明 $\mathcal{D}_q$ 是经典（特征 0）旗簇 $X$ 的余切丛 $T^\star X$ 的某个开子集上的 Azumaya 代数。由此我们得到了 $U_q$ 的表示与某些 $\mathcal{O}_{T^\star X}$-模之间的导等价。在文献 \cite{BMR} 中对特征 $p$ 中的李代数 $\g_p$ 得到了类似结果。因此，$\g_p$ 与 $U_q$（当 $q$ 为 p 次单位根时）的表示分别通过特征 0 与特征 p 中的余切丛 $T^\star X$ 相关联。