基于LQR的$\omega-$稳定控制带记忆的热方程

我们考虑在$\mathbb{R}^d$中的有界域上定义、由$m$个控制输入驱动的带记忆的热方程，其控制输入作用于域的内部。我们的目标是数值构造一个状态反馈控制器，使得对于每个初始状态，闭环系统的解以给定的衰减率$\omega>0$的指数衰减到零，即我们要解决带记忆的热方程的$\omega$-稳定问题。我们首先表明，与该方程相关的状态算子$A$的谱在$-\omega_0<0$处有一个聚集点。给定$\omega\in(0,\omega_0)$，我们指出只要控制算子$B$满足某些可验证的条件，带记忆的热方程的$\omega$-稳定问题即可求解。随后我们考虑带记忆的热方程的相应LQR问题。对于每个$n\in\mathbb{N}$，我们构造$A$和$B$的有限维近似$A_n$和$B_n$，然后表明通过解相应的LQR问题的近似，可计算得到反馈算子$K_n$，使得$A_n + B_n K_n$的所有特征值实部都小于$-\omega$。我们证明了当$n$足够大时，$K_n$解了带记忆的热方程的$\omega$-稳定问题。我们证明的关键且非平凡步骤是建立$(A_n+\omega I, B_n)$在$n$上的均匀（即$n$独立的）可控性。我们通过两个例子数值验证了理论结果：一个在单位区间上的一维例子和一个在正方形域上的二维例子。