由类数为一的有理域上定型四元数代数构造的 LPS 型 Ramanujan 图

在本文中，我们由每个类数为 1 的有理域 $\mathbb Q$ 上定型四元数代数构造出显式的 LPS 型 Ramanujan 图，推广了 Lubotzky、Phillips、Sarnak 以及后来的 Chiu 的构造，并肯定地回答了 Jo 与 Yamasaki 提出的一个问题。为此我们证明：对于类数为 1 的每一个有理域 $\mathbb Q$ 上定型四元数代数 $\mathcal H$，取其极大阶 $\mathcal O$，令 $G = \mathcal H^\times/Z(\mathcal H^\times)$，且素数 $p$ 满足 $G(\mathbb Q_p) \cong PGL_2(\mathbb Q_p)$，则存在一个 $G$ 的 $p$-算术同余子群，其在 $G(\mathbb Q_p)$ 的 Bruhat-Tits 树上单可递作用。