基态能量下阈值与最小平衡割密度的可测性

Lov\'asz 及其合作者从统计物理学中借用了微正则基态能量 $\hat{\mathcal{E}}_\mathbb{a} (G,J)$ 的概念，用于加权图 $G$，其中 $\mathbb{a}$ 是 $\{1,...,q\}$ 上的概率分布，$J$ 是具有实条目的对称 $q \times q$ 矩阵。我们定义了一种新版本的基态能量 $\hat{\mathcal{E}}^c (G,J)=\inf_{\mathbb{a}\in A_c}\hat{\mathcal{E}}_\mathbb{a} (G,J)$，称为基态能量下阈值，其中 $A_c = \{\mathbb{a} :\, a_i\ge c,\,i=1,\dots, q \}$。这两种类型的能量都可以扩展到图限 (graphons) $W$，即简单图收敛序列的极限对象。本文的主要结果表明，如果 $0\leq c_1<c_2 \leq 1$，则对于每个 $J$，序列 $(\hat{\mathcal{E}}^{c_2/q} (G_n,J))$ 的收敛性意味着对于每个 $J$，序列 $(\hat{\mathcal{E}}^{c_1/q} (G_n,J))$ 的收敛性。作为副产品，可以自然地推导出最小平衡多路割密度的可测性，这是聚类分析的基本问题之一。