分形集的下S-维数

最近，对于R^d中的一般集合，研究了(上、下)闵可夫斯基含量与(上、下)基于表面积的含量(S-含量)之间以及它们关联维数之间的相互关系(参见[3])。虽然上维数总是相等且上含量相互有界，但[3]中得到的界表明下含量和维数具有更大的灵活性。我们证明情况确实如此。存在一些集合，其下S-维数严格小于下闵可夫斯基维数。更精确地说，给定两个数s, m满足0 < s < m < 1，我们在R^d中构造了具有下S-维数s+d-1和下闵可夫斯基维数m+d-1的集合。特别地，这些集合被用来证明[3]中关于这两个维数一般关系的不等式是最优的。