搜索机器人的下界：部分存在故障

假设我们从 $0$ 点派出 $k$ 个机器人以恒定速度（可转向）搜索实轴，以寻找位置未知的目标；其中 $f$ 个机器人存在故障，意味着它们即使经过目标位置也无法报告发现目标（称为崩溃型故障）。目标是若目标位于 $d$ 处（$|d| \ge 1$），则在至多 $\lambda |d|$ 的时间内找到目标，并使 $\lambda$ 尽可能小。我们证明，当 $$\lambda < 2\frac{\rho^\rho}{(\rho-1)^{\rho-1}}+1,~~ \rho := \frac{2(f+1)}{k}~,$$ 时无法实现该目标；由于早期工作（见 J. Czyzowitz, E. Kranakis, D. Krizanc, L. Narayanan, J. Opatrny, PODC'16，该问题在此被提出），此下界是紧的。这也为所谓的拜占庭型故障机器人（可能错误报告目标）提供了一些优于先前已知的下界。在论文的第二部分，我们处理该问题的 $m$ 射线推广情形，即需在从同一点发出的 $m$ 条射线上检测隐藏目标。利用我们方法的推广以及原问题的一个有用松弛形式，我们同样建立了该设定下的紧下界（同上，其中 $\rho := m(f+1)/k$）。当特化为 $f=0$ 的情形时，这解决了由三组科学家在约 15 至 30 年前提出的关于 $m$ 射线上并行搜索的问题：分别是 Baeza-Yates, Culberson 和 Rawlins；Kao, Ma, Sipser 和 Yin；以及 Bernstein, Finkelstein 和 Zilberstein。已知 $m$ 射线推广与其他看似无关的问题存在联系，包括在线问题的混合算法以及所谓的契约算法（contract algorithms）。